在1967年12月4日，杨振宁先生发表了文章“SOME EXACT RESULTS FOR THE MANY-BODY PROBLEM IN ONE DIMENSION WITH REPULSIVE DELTA-FUNCTION INTERACTION”

这篇文章很适合吾辈作为出发点，去真正尝试学习理解什么是量子多体问题。

1.考虑一维的\(N\)-体问题:

\[H = -\sum_{i}^N \frac{\partial^2}{\partial x_i^2} + 2c \sum_{i<j} \delta(x_i - x_j), c>0,\]

第一项是动能，第二项则表示了粒子在相互接触时的碰撞相互作用。边界条件考虑采用周期边界条件，即粒子的位置有界\(x\in[0,L]\)。

2.波函数\(\psi(x_1,...,x_N)\)在粒子交换下具有特定的对称性。我们可以用置换群\(S_N\)的不可约表示\(R_\psi\)来进行描述。作为补充，我们可以先简单地复习一下置换群最有意思的一些性质:

• a.任何置换群元素\(p=(p_1,p_2,...,p_N)\)都可以分解为一系列独立的轮换操作\((q_1q_2q_3...q_k)\)的乘积

• b.一个\(k\)体轮换\((p_1p_2p_3...p_k)\)生成一个\(k\)阶循环群。同时，任何轮换都可以分解为一系列对换的乘积：

  \[(p_1p_2p_3...p_k)=(p_1p_2)(p_2p_3)...(p_{k-1}p_k)\]

  可以将任何置换最终拆解成一系列对换的乘积，根据对换的个数我们可以定义置换宇称。

借助置换宇称，我们可以定义群同态：

\[\begin{aligned} \epsilon: S_n \to \mathbb{Z}_2, \left\{\begin{aligned} &\sigma \to +1 \mathrm{,\ \ if \ \ \sigma \ \ is \ \ even}, \\ &\sigma \to -1 \mathrm{,\ \ if \ \ \sigma \ \ is \ \ odd.} \end{aligned} \right. \end{aligned}\]

此即全反对称张量:\(\epsilon(\sigma)=\epsilon_{\sigma_1,\sigma_2,...,\sigma_n}\)。对于任意\(\sigma_i\sigma_j=\sigma_k\)，我们有\(j_{\sigma_k(1)}=i_1,...\ ...,j_{\sigma_k(n)}=i_n\)。于是，我们立刻得到：

\[\epsilon_{i_1,...,i_n}\epsilon_{j_1,...,j_n}=\epsilon(\sigma_i)\epsilon(\sigma_j)=\epsilon(\sigma_k)=\sum_{\sigma\in S_n}\epsilon(\sigma)\delta_{i_1,j_{\sigma(1)}}...\delta_{i_n,j_{\sigma(n)}}\]

对于\(S_3\)，我们任取\(\sigma_i=(i,j,k),\sigma_j=(i,l,m)\)，为了使得\(i_1=i=j_{\sigma(1)}\)，我们只需要考虑后两位的所有置换\((2)(3),(23)\)，于是得到：\(\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}=\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl}\)。

• c.在对换中，我们可以定义相邻对换\(P_i=(i,i+1)\)，任何不相邻对换可以根据递推公式

  \[(i,i+v)=(i+1,i+v)(i,i+1)(i+1,i+v)\]

  分解为相邻对换的乘积。相邻对换\(P_i\)满足重要性质\(P_iP_{i+1}P_i=P_{i+1}P_iP_{i+1}\)。此外，引入\(n\)-体轮换\(W=(12...n)\)，任何相邻对换\(P_i\)都可以通过\(W,P_1\)来生成：\(P_i=WP_{i-1}W^{-1}=W^{i-1}P_1W^{1-i}\)。

• d.群共轭不改变置换群的轮换结构，因此具有相同轮换结构的置换属于同一共轭类，轮换结构能通过配分数(\(i_1\geq i_2...\geq i_n\geq 0, \sum_j i_j = n\))进行标记。配分数可以通过Young图进行表示，因此置换群的共轭类可以通过Young图进行形象得刻画。根据Young图我们可以得到标准Young盘，并进一步构造标准Young算符，从而得到一组具有确定置换对称性的基底，即对应的不可约表示。

Young图\([N]\)给出了交换对称的波函数(玻色子)，Young图\([1^N]\)给出了交换反对称的波函数(费米子)。

3.波函数\(\psi=\psi(x_1,x_2,...,x_N)\)是定义在\([0,L]^N\)上的函数，可以引入排序\(0<x_{Q_1}<x_{Q_2}<...<x_{Q_N}<L\)，这使得我们将\([0,L]^N\)分割出\(N!\)个区域。我们可以想象这一分割的物理含义，即在一维的空间中，我们可以从\(0\)出发，在抵达\(L\)的过程中，我们会以一定概率遇到第一个粒子、第二个粒子、……，于是我们就给出了系统状态的一种表述。对于给定的区域\(Q\)上的波函数\(\psi\)，\(\delta\)函数相互作用为零，薛定谔方程变成:

\[-\sum_{i}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x_i^2} = E\psi\]

方程的一个解可以由一组动量\(p_1,p_2,...,p_N\)来进行标记：\(\exp(i\sum_k p_k x_k)\)。方程的一般解是一系列满足\(\sum_k p_k^2=E\)的动量组所标记的解的叠加。对于全同粒子，其具有给定的置换对称性，我们考虑一组动量\(p_1,...,p_N\)，并选择如下的线性组合作为拟设：

\[\psi = \sum_P A[Q,P] \exp(i\sum_{k}p_{P_k}x_{Q_k})\]

其中\(P=[P_1,P_2,..,P_N],Q=[Q_1,Q_2,...,Q_N]\)是\(1,2,..,N\)的两组置换，\(A[Q,P]\)为叠加系数矩阵，并记置换\(P\)所对应的列向量为\(\xi_P\)。其中置换群的不可约表示将告诉我们：\(A[Q,P]=R(Q^{''})A[Q',P]\)，其中\(R(Q^{''})\)是置换\(Q^{''}\)的不可约表示矩阵，且\(Q^{''}=Q'Q^{-1}\)。因此，为了确定波函数的结构我们接下来的目标即确定\(A[Q,P]\)和\(A[Q,P']\)的关系，也即\(\xi_P,\xi_{P'}\)的关系。

注意到相互作用影响在边界处，我们考虑以下两个区域的波函数：

\[\begin{aligned} &Q=[Q_1,Q_2,Q_3,Q_4,...,Q_N],\\ &Q'=[Q'_1,Q'_2,Q'_3,Q'_4,...,Q'_N]=[Q_1,Q_2,Q_4,Q_3,...,Q_N] \end{aligned}\]

于是在\(x_{Q_3}=x_{Q_4}\)的边界处，波函数需要满足波函数的连续性条件，即：

\[\sum_{P}A[Q,P]\exp(i\sum_k p_{P_k}x_{Q_k}) = \sum_{P}A[Q',P]\exp(i\sum_k p_{P_k}x_{Q'_k})\]

对于这一等式，首先想到在\(x_{Q_3}=x_{Q_4}=x\)时，求和两边的相因子一致：\(~\exp(i[...+p_{P_3}x+p_{P_4}x+...])\)，这样我们可以根据线性独立来得到恒等式，但是需要注意，现在对\(P\)的求和并没有把同属于一个线性无关基的系数全部加和起来，因此不能错误地认为\(A[Q,P]=A[Q',P]\),并且这与给定的置换对称性性质在非玻色子的情况下矛盾。

在物理上我们想到在\(x_{Q_3}=x_{Q_4}\)的边界处，散射局域地发生在这两个粒子之间，散射过程会导致两个粒子交换动量。于是我们考虑将\(P\)的求和分成两类，分别记作：

\[\begin{aligned} P &= [P_1,P_2,P_3,P_4,...,P_N], \\ P' &= [P_1,P_2,P_4,P_3,...,P_N]. \end{aligned}\]

于是得到：

\[\begin{aligned} &\sum'_{P}(A[Q,P]-A[Q',P'])\exp(i[...+p_{P_3}x_{Q_3}+p_{P_4}x_{Q_4}+...])=\\ &\sum'_{P}(A[Q',P]-A[Q,P'])\exp(i[...+p_{P_4}x_{Q_3}+p_{P_3}x_{Q_4}+...]) \end{aligned}\]

此处求和\(\sum_P'\)的求和数减少了一半，在\(x_{Q_3}=x_{Q_4}=x\)的条件下，我们可以利用线性无关的条件得到：

\[A[Q,P]+A[Q,P']=A[Q',P]+A[Q',P']\]

另一方面，波函数还需要在边界处满足导数的跳变条件，考虑对薛定谔方程在边界处积分：

\[\int_{0^-}^{0^+}d(x_{Q_3}-x_{Q_4})\bigg[-\sum_i \frac{\partial^2\psi}{\partial x_i^2}+2c\delta(x_{Q_3}-x_{Q_4})\psi\bigg]=0\]

进一步处理得到：

\[\bigg(\frac{\partial\psi}{\partial x_{Q_3}}-\frac{\partial\psi}{\partial x_{Q_4}}\bigg)\bigg|_{0^-}^{0^+}=2c\psi(x_1,...,x_N|x_{Q_3}=x_{Q_4})\]

为了方便我们标记\(i=P_3,j=P_4\)：

\[\begin{aligned} &i\sum_P A[Q,P](p_j-p_i)\exp(i[...+p_ix_{Q_3}+p_j x_{Q_4}+...])+\\ &i\sum_P A[Q',P](p_j-p_i)\exp(i[...+p_jx_{Q_3}+p_i x_{Q_4}]+...)=\\ &2c\sum_P A[Q,P] \exp(i[...+p_i x_{Q_3}+p_j x_{Q_4}+...]) \end{aligned}\]

同样地，我们需要将同一基底的系数合并以使用线性无关的性质，进行对应的代数整理我们得到：

\[\begin{aligned} &i\sum_P'\bigg[A[Q,P]-A[Q',P']\bigg](p_j-p_i)\exp(i[...+p_i x_{Q_3}+p_j x_{Q_4}+...]) +\\ &i\sum_P'\bigg[A[Q',P]-A[Q,P']\bigg](p_j-p_i)\exp(i[...+p_jx_{Q_3}+p_ix_{Q_4}+...])=\\ &2c\sum_P' \bigg[A[Q,P]\exp(i[...+p_ix_{Q_3}+p_jx_{Q_4}+...])+\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A[Q,P']\exp(i[...+p_jx_{Q_3}+p_ix_{Q_4}+...])\bigg] \end{aligned}\]

于是在条件\(x_{Q_3}=x_{Q_4}=x\)的条件下，我们得到：

\[\frac{i}{2}(p_j-p_i)\bigg(A[Q,P]-A[Q',P']+A[Q',P]-A[Q,P']\bigg)=c(A[Q,P]+A[Q,P'])\]

注意到公式关于\(Q,Q'\)是对称的，我们可以引入交换算符\(P_{Q,Q'}=P_{34}\)，以及采用列向量记号\(\xi_P=(A[Q,P])_Q\)，于是可以被简单地整理成：

\[\frac{i}{2}(p_j-p_i)(1+P_{34})\bigg(\xi_P-\xi_{P'}\bigg)=c(\xi_P+\xi_{P'})\]

进一步：

\[\bigg(\frac{i}{2}(p_j-p_i)(1+P_{34})-c\bigg)\xi_P=\bigg(\frac{i}{2}(p_j-p_i)(1+P_{34})+c\bigg)\xi_{P'}\]

方程两边同时乘以因子\(\bigg(\frac{i}{2}(p_j-p_i)(-1+P_{34})+c\bigg)\):

\[\bigg(ic(p_j-p_i)-c^2\bigg)\xi_P=\bigg(ic(p_j-p_i)P_{34}+c^2\bigg)\xi_{P'}\]

于是得到:

\[\xi_P = \frac{(p_j-p_i)P_{34}-ic}{(p_j-p_i)+ic}\xi_{P'}\]

按照杨先生的记号，引入\(x_{ij}=ic(p_i-p_j)^{-1}, y_{ij}=1+x_{ij}\)，即有：

\[\xi_{...ij...}=\xi_{P} = \frac{P_{34}-x_{ji}}{1+x_{ji}}\xi_{P'}=Y_{ji}^{34}\xi_{P'}=Y_{ji}^{34}\xi_{...ji...}\]

其中

\[{Y_{ji}^{34}}=({y_{ji}^{-1}}-1)+{y^{-1}_{ji}}{P_{34}}\]

至此，我们终于得到了文章中杨先生轻描淡写给出的公式(3)。

4.算符\(Y^{ab}_{ij}\)连接了不同动量排序\(P\)所对应的系数列向量，正如散射问题中\(S\)矩阵将初态与末态联系起来一样，算符\(Y\)给出了两个粒子发生散射前后的波函数联系。总共有\(N!\)种排序置换，每种置换情况在不考虑边界的情况下有\(N-1\)种发生两体碰撞的情形，因此总共有\(N!(N-1)\)种方式发生两粒子散射，即有这么多种联系不同粒子状态的方式。我们需要确保这些方程之间是自洽的，即通过不同路径进行散射得到的最终结果应当是一样的。 这里需要区分两类指标：下标\(i,j\)是动量的标签，上标\(a,b\)是排序中的相邻位置，\(P_{ab}\)交换列向量中对应的\(Q\)指标。因此，前面的约定是\(\xi_{...ij...}=Y_{ji}^{ab}\xi_{...ji...}\)，算符乘积从右向左作用。以下计算先假定所涉及的动量差和分母均非零。

首先，同一对粒子交换两次应当回到原来的状态。由于\(P_{ab}^2=1\)且\(x_{ij}=-x_{ji}\)，我们有：

\[Y_{ij}^{ab}Y_{ji}^{ab}=\frac{(P_{ab}-x_{ij})(P_{ab}+x_{ij})}{(1+x_{ij})(1-x_{ij})}=1.\]

但这还不足以保证三体散射的一致性。考虑三个相邻位置\(a,b,c\)，其中的动量标签从\(kji\)变为\(ijk\)，有两条不同的路径：

\[\begin{aligned} &kji\longrightarrow jki\longrightarrow jik\longrightarrow ijk,\\ &kji\longrightarrow kij\longrightarrow ikj\longrightarrow ijk. \end{aligned}\]

按照上述指标约定，这两条路径给出相同结果的条件就是杨–巴克斯特方程：

\[Y_{ij}^{ab}Y_{ik}^{bc}Y_{jk}^{ab}=Y_{jk}^{bc}Y_{ik}^{ab}Y_{ij}^{bc}.\]

我们可以直接验证这一关系。记\(A=P_{ab},B=P_{bc}\)以及\(\alpha=x_{ij},\beta=x_{jk},\gamma=x_{ik}\)。置换算符满足\(A^2=B^2=1\)和\(ABA=BAB\)，而动量差的可加性给出：

\[\alpha\beta=\gamma(\alpha+\beta),\qquad \frac{(ic)^2}{(p_i-p_j)(p_j-p_k)} =\frac{ic}{p_i-p_k}\bigg(\frac{ic}{p_i-p_j}+\frac{ic}{p_j-p_k}\bigg).\]

等式两边的分母同为\((1+\alpha)(1+\beta)(1+\gamma)\)。展开分子的差，并利用上述置换关系，得到：

\[\begin{aligned} &(A-\alpha)(B-\gamma)(A-\beta)-(B-\beta)(A-\gamma)(B-\alpha)\\ &\qquad=\big[\gamma(\alpha+\beta)-\alpha\beta\big](A-B)=0. \end{aligned}\]

于是，三体散射的两条路径确实一致。此外，作用在互不相交的相邻位置上的置换算符彼此对易，相应的\(Y\)算符也彼此对易。这一关系与两次交换的逆关系、三体的杨–巴克斯特关系一起，保证了由相邻交换构造同一动量排序时结果的自洽性。